Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Приближённое вычисление производных

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :

 

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\textstyle{2x_1x_2}}{\textst...
...x_1;x_2)\ne(0;0);\\
0,&\text{ если }x_1=0\text{ и }x_2=0.
\end{array}\right.$

Эта функция разрывна в точке $ (0;0)$ , поскольку в любой, как угодно малой окрестности начала координат имеются точки вида $ ({\varepsilon};{\varepsilon})$ , где $ {\varepsilon}\ne0$ , в которых значение функции равно

 

$\displaystyle f({\varepsilon};{\varepsilon})=\frac{2{\varepsilon}\cdot{\varepsilon}}{{\varepsilon}^2+{\varepsilon}^2}=1,$

а также точки вида $ ({\varepsilon};-{\varepsilon})$ , где $ {\varepsilon}\ne0$ , в которых значение функции равно

 

$\displaystyle f({\varepsilon};-{\varepsilon})=\frac{2{\varepsilon}\cdot(-{\varepsilon})}{{\varepsilon}^2+{\varepsilon}^2}=-1,$

а значение $ f(0;0)$ равно 0.

Однако ограничение функции $ f$ как на прямую $ x_2=0$ , так и на прямую $ x_1=0$ , проходящие через начало координат, тождественно равно 0:

 

$\displaystyle f\vert _{x_2=0}=f(x_1;0)=0;\
f\vert _{x_1=0}=f(0;x_2)=0,$

так что и производные от этих ограничений в точке 0 равны 0, то есть

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(0;0)=0;\
\frac{\partial f}{\partial x_2}(0;0)=0.$

Итак, обе частные производные в начале координат существуют, но функция разрывна в начале координат.  

Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$ в сумму простейших дробей и вычислим $ \int R(x)\,dx$ .

Частные производные высших порядков

Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

   

 


Математика примеры решения задач