Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

   Пример 4.19   Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$. Первая производная равна
$\displaystyle f'(x)=(\sin^3x)'=3\sin^2x\cos x;$
далее находим
$\displaystyle f''(x)=3(\sin^2x\cos x)'=3(2\sin x\cos^2x-\sin^3x)=3\sin x(2\cos^2x-\sin^2x).$ В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.
    
        Пример 4.20   Пусть $ y=f(x)=e^{kx}$. Тогда
$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx};
y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$
При $ k=1$ все производные оказываются равными исходной функции: $ (e^x)^{(n)}=e^x.$

Найдём производную функции

Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$.

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Решите уравнение $ {x^2+2x+5=0}$ .

Символ суммирования

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Пример Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:

Производные высших порядков

Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$.

Производные функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами: $\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$.


На сайте www.lesstroy.by деревянные дома являются самым экологичным.
Математика примеры решения задач