Производные функции, заданной параметрически


  Пример   Найдём производную функции
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$
При $ x\ne0$ вычислим производную как производную произведения:
$\displaystyle f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}+x^2\cos\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=
2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}.$
При $ x=0$ производную вычислим по формуле, служащей определением производной: Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ
$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=
\lim_{h\to0}\dfrac{h^2\sin\dfrac{1}{h}}{h}=
\lim_{h\to0}h\sin\dfrac{1}{h}=0,$
поскольку получили предел произведения бесконечно малой величины $ h$ и ограниченной величины $ \sin\dfrac{1}{h}$. Итак, $ f'(0)=0$, однако это значение не является пределом $ f'(x)$ при $ x\to0$, то есть производная $ f'(x)$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода. Действительно, в выражении для $ f'(x)$ при $ x\ne0$ первое слагаемое $ 2x\sin\dfrac{1}{x}$ стремится к 0 при $ x\to0$, однако второе слагаемое $ -\cos\dfrac{1}{x}$ не стремится ни к какому пределу при $ x\to0$, совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.
Рис.4.5.Графики функции $ f(x)$ и её производной $ f'(x)$

Этот пример показывает, что производная, даже если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.  

Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.

Найдём производную функции $ f(x)=a^x$

Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$

Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$

Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$


Математика примеры решения задач