Частные производные высших порядков

Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$. Преобразуем приращение функции следующим образом:
$\displaystyle {\Delta}f=\sqrt{x+h}-\sqrt{x}=
\dfrac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqr...
...{x}}=
\dfrac{(x+h)-x}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=
\dfrac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
$
Поэтому
$\displaystyle (\sqrt{x})'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=
\lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=
\dfrac{1}{2\sqrt{x}},$
поскольку $ \lim\limits_{h\to0}\sqrt{x+h}=\sqrt{x}$ вследствие непрерывности элементарной функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в любой точке $ x>0$. Получили в итоге формулу $ (x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$, то есть формулу (4.12) при $ n=\frac{1}{2}$.

4. Пусть $ f(x)=\dfrac{1}{x^m}$, где $ m\in\mathbb{N}$. Производную этой функции можно подсчитать по формуле производной частного (формула (4.10)):

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^m}\right)'=\dfrac{1'x^m-1\cdot(x^m)'}{(x^m)^2}=
\dfrac{-mx^{m-1}}{(x^m)^2}=-\dfrac{m}{x^{m+1}},$
то есть $ (x^{-m})'=(-m)x^{(-m)-1}$. Эта формула совпадает с формулой (4.12) при отрицательных целых $ n=-m$.

В частности, получаем при $ m=1$

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$
и при $ m=2$
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^2}\right)'=-\dfrac{2}{x^3}.$

5. Пусть $ f(x)=\sin x$. Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\sin(x+h)-\sin x=
2\cos\dfrac{(x+h)+x}{2}\sin\dfrac{(x+h)-x}{2}=
2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2},$
а производная --
$\displaystyle (\sin x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=
\lim_{h\to0}\cos(x+\...
...h}{2})
\lim_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=
\cos x\cdot1=\cos x.$
При этом мы воспользовались тем, что $ \lim\limits_{h\to0}\cos(x+\frac{h}{2})=\cos x$, так как $ \cos x$ -- непрерывная функция, и тем, что $ \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1$ (это первый замечательный предел).

Математика примеры решения задач