Конспекты по электротехнике Методы расчета и анализа электрических цепей Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС Метод узловых потенциалов Баланс мощностей Резонанс напряжений Резонанс токов

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,(14)

 

где - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

МатрицыZ  и  Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицуАи учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

(15)

 получим:

. .(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.(17)

 

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)
(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

 

где - матрица узловых проводимостей; - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А

 

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y,

 

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

*

 

. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

 

.Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.
Баланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами