Моменты инерции сечения Статически неопределимые задачи Деформация изгиба Определение опорных реакций Расчет балок Способ сравнения деформаций Момент сил Расчет ферм Метод сечения Понятие об устойчивости

Лекции по сопромату, теория, практика, задачи

Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля.

Значительно более жестким и поэтому более целесообразным при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля.

Рассмотрим цилиндрический стержень, поперечное сечение которого представлено на рис. 2.14. Толщину стенки будем считать плавно изменяющейся вдоль линии контура, так что концентрацию напряжений можно не учитывать.

Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называется средней линией сечения.

Ввиду незначительной толщины стенки можно принять, что возникающие при кручении касательные напряжения будут равномерно распределены по толщине стенки и направлены по касательной к средней линии сечения.

Можно показать также, что произведение касательного напряжения в какой-либо точке стенки на ее толщину есть величина, постоянная для всех точек осевой линии контура сечения, т.е. t2_18.gif

Для этого достаточно рассмотреть условие равновесия какого-либо элемента стержня, например элемента 1234 (рис. 2.14).

В продольном сечении 1-4 действует парное касательное напряжение t2_19.gif, в сечении 2-3 - парное касательное напряжение t2_20.gif

Спроектировав силы, действующие на элемент, на направление оси стержня, получим t2_21.gif.

Так как точки 3 и 4 взяты произвольно, то t2_22.gif

Теперь можно связать величину касательного напряжения с возникающим в сечении крутящим моментом.

2_14.gif

Сила, действующая на элементарную площадь t2_23.gif(рис. 2.14), равна, очевидно, t2_24.gif, а крутящий момент этой элементарной силы относительно произвольной точки О, лежащей в плоскости сечения, равен t2_25.gif, относительно точки О.

Сумма моментов относительно оси, параллельной образующей стержня и проходящей через точку О, равна крутящему моменту

t2_26.gif

где интегрирование распространяется на всю длину контура s; но произведение pds равно удвоенной площади треугольника Oab; pds = 2dA. Следовательно, t2_27.gif

Произведение t2_28.gif, как величину постоянную, можно вынести за знак интеграла. Под интегралом остается выражение t2_29.gif, что представляет собой площадь сплошного сечения, ограниченного средней линией сечения.
Тогда

f_36.gif          (2.36)

откуда

f_37.gif          (2.37)

Наибольшее напряжение будет в том месте, где толщина стенки минимальна

f_38.gif          (2.38)

Угол закручивания t2_14.gifдля стержня длиной l определим из условия, что работа внешнего скручивающего момента равна работе внутренних сил. Работа внешнего статически приложенного момента на угловом перемещении t2_14.gifравна

t2_31.gif

Вычислим теперь потенциальную энергию деформации, численно равную работе внутренних сил.

Потенциальная энергия для элемента объемом t2_32.gifсоставит

t2_33.gif

где l - длина стержня.

Полная потенциальная энергия энергия для всего стержня равна

t2_34.gif

Интегрирование производится по длине s контура сечения.

2_15.gif

Заменяя t2_2.gifего значением из формулы (2.37), найдем

t2_35.gif

Вынесем постоянные величины за знак интеграла

t2_36.gif

Учитывая, что потенциальная энергия U численно равна работе W внешнего момента, получим Тк = Т

f_39.gif          (2.39)

Пример 2.3. Определить наибоьльшее напряжение и угол закручивания трубчатого стержня (рис. 2.15), если Тк = Т = 1500 Н * м, G = 80000 МПа.

Решение. По формуле (2.38) находим

t2_37.gif

По формуле (2.39) определим угол закручивания на длине 1 м

t2_38.gif

Пример 2.4. Определить наибольшее напряжение и угол закручивания того же стержня, если профиль будет открытым (т.е. если контур в одном месте будет разрезан).

Решение. Напряжение определяем по формуле (2.34):

t2_39.gif

Заметим, что этот результат имеет смысл лишь для стержня, изготовленного из легированной стали, имеющей предел пропорциональности при чистом сдвиге t2_40.gifне ниже найденной величины t2_41.gif, так как все формулы настоящей главы справедливы лишь в пределах действия закона Гука.

Угол закручивания определяем по формуле (2.35)

t2_42.gif

Сравнение результатов двух рассмотренных примеров подтверждает приемущества стержней замкнутого профиля по сравнению со стержнями открытого профиля при работе на кручение.


Лекции по сопромату, теория, практика, задачи