Сформулируем теперь кратко суть метода Гаусса. Полагая, что в системе коэффициент a11 отличен от нуля ( если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x1 и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x1 с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.
В полученной системе
,
считая, что 
(что всегда можно получить, переставив уравнения или слагаемые
внутри уравнений и переобозначив коэффициенты системы), оставляем без изменений
первые два уравнения системы, а из остальных уравнений, используя второе уравнения,
с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную x2. Во вновь полученной
системе
при условии 
оставляем без изменений первые три уравнения, а из всех
остальных с помощью третьего уравнения элементарными преобразованиями исключаем
неизвестную x3.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:
1)если в результате приходим к системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;
2)если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;
3)если получается система с трапецеидальной матрицей коэффициентов (и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.