Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде:

  у¢+a(x)y=b(x). (9)

Здесь a(x) ‑ некоторая функция аргумента x. Как мы это делали раньше, вначале будем искать решение однородного уравнения, положив функцию b(x) в правой части (9) равной нулю. Представив уравнение у¢+a(x)y=0 в виде

 ,

после интегрирования получаем

 

или

 . (10)

Здесь A ‑ неопределенная константа, которую можно найти из начального условия y(0)=0.

Пример. Решить уравнение y’+2xy=0 при начальном условии y(0)=3.

В этом случае

a(x)=2x,

и начальное условие определяет A=3. Искомое решение имеет вид

 .

Перейдем к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Положим в формуле (10) A=A(x), то есть будем считать множитель A некоторой функцией от x. Этот метод называется методом вариации произвольной постоянной, и с его помощью мы попытаемся решить уравнение (9) при условии, что b(x) есть некоторая функция, не равная тождественно нулю. Из формулы (10) получаем:

.

После подстановки этих выражений уравнение (9) принимает вид

,

откуда следует уравнение относительно функции :

 ,

с решением

 .

Подставив это выражение в (10), получим общее решение уравнения (9):

 . (11)


Математика примеры решения задач