Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Заметим, что для задания начального условия, вообще говоря, не обязательно выбирать значение аргумента x, равное нулю. Как сказано выше, выделить единственное решение из множества, задаваемого формулой (4) (то есть определить константу А), можно с помощью любого соотношения y(x1) = y1, считая его начальным условием.

Если в уравнении (3) a=0, то интегрирование приводит к решению y(x)=C, то есть к константе, которая при начальном условии (5) равна y0. Таким образом решение y(x) сохраняет начальное значение y0 при изменении x.

Рассмотрим теперь случай неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пусть дано уравнение

 y¢ + ay = b, ( b = cost ) (7)

с начальным условием y(0) = y0.

Введем новую неизвестную  (считаем, что a ¹ 0). Теперь уравнение (7) примет вид  или z¢ + az = 0. Как было показано выше, решением последнего уравнения является функция z=z0e–ax, где . Возвращаясь к изначальной неизвестной, получаем решение уравнения (7) при заданном начальном условии:

  . (8)

Если в уравнении (7) a = 0, то его решением при заданном начальном условии будет функция y(x) = bx + y0.

src="ris

src="ris

Заметим, что решение (8) состоит из двух частей: yh=Ae–ax ‑ решения однородного уравнения y¢ + ay = 0 и y0(x) = b/a ‑ решения, которое назовем равновесным и которое получается, если в уравнении (7) положить y¢=0. Такое представление позволяет рассматривать решение (8) уравнения (7) как сумму равновесного или фиксированного значения ye и отклонения или девиации yh тра­ектории y(x) от равновесного значения. Это отклонение возрастает экспоненциально с ростом x при a<0 и стремится к нулю при a > 0. В первом случае (a<0) решение называется неустойчивым, а во втором – устойчивым (асимптотически устойчивым).

Как показано на рисунках 1 и 2, отклонение yh=(y0–ye)e–ax от уровня равновесия  уменьшается с ростом x при a > 0 и увеличивается с ростом x приa < 0.


Математика примеры решения задач