Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

 a0(x)y¢ + a1(x)y=B(x). (1)

При a0 ¹ 0 его можно представить в виде:

 y¢ + a(x)y = b(x), (2)

где a(x) = a1(x)/a0(x) и b(x) = B(x)/a0(x).

Если правые части (1) и (2) равны нулю, то эти уравнения называются однородными, в противном случае – неоднородными.

Если в уравнении (1) a0(x) = a0 и a1(x) = a1, то есть эти функции являются константами, то уравнение (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородное уравнение

 y¢ + ay = 0. (3)

Перепишем его в виде:  или . Последнюю формулу можно рассматривать как равенство дифференциалов функций одного и того же аргумента x. Интегрируя это равенство, получаем lny = –ax + C, или y=e–ax+C, где C ‑ произвольная константа. Если теперь ввести обозначение eC=A, то можно представить так называемое общее решение уравнения (3) в виде:

 y = Ae–ax. (4)

Это решение зависит от неопределенной константы A, придавая которой различные значения, можно получить все множество интегральных кривых уравнения (3). Если мы хотим найти интегральную кривую, проходящую через точку (x1,y1), то нужно подставить координаты точки в формулу (4) и определить значение константы A. Сэтим значением константы A формула (4) будет определять лишь одну интегральную кривую или так называемое частное решение уравнения (3).

Как правило, задача ставится так: найти решение уравнения (3) при условии

  y(0)=y0. (5)

Последняя формула называется начальным условием для уравнения (3).

Дифференциальное уравнение (3) при начальном условии (5) имеет единственное решение, которое определяется формулой

 y(x) = y0e–ax. (6)


Математика примеры решения задач