Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Производная по направлению.

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

 . (3)

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosa=1; sina=0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cosa=0; sina=1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок  или (что то же самое) вектор, причем точка M0(x0,y0) является его начальной точкой, а M1(x1,y1) ‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x1‑x0, а координату по оси , как число, равное y1‑y0. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора   в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

 ,

а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tgg=b/a (отметим, что зная величину tgg, а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол g с точностью до 2p ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде  или . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора:  и , то скалярным произве­дением  этих векторов называется число  (j‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов   и  равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

 =a1b1+a2b2. (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z=f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом   функции f(x,y) в точке (x,y)ÎG называется вектор, который задается формулой

 .


Математика примеры решения задач