Определенный интеграл как функция верхнего предела
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x.
Отсюда следует, что функция 
является
первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает
в точке x=a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный
интеграл в виде
. (1)
Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x)=F(x)+C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I(x)–I(a)=F(x)+C–(F(a)+C)=F(x)–F(a). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).
Для того, чтобы вычислить
определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо
первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в
точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом
.
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры. 1. 
.
2. 
.
Сначала
вычислим неопределенный интеграл от функции f(x)=xex. Используя метод интегрирования
по частям, получаем: 
. В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию
ex(x–1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:
I=ex(x–1)
=1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле:
.
Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j(a)=a;j(b)=b, а функции f, j, j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:
.
Сделаем замену: lnx=t или x=et, тогда если x=1, то t=0, а если x=e, то t=1. В результате получим:
src="ris 
.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.