Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция  является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x=a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

 . (1)

Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x)=F(x)+C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

  I(x)–I(a)=F(x)+C–(F(a)+C)=F(x)–F(a). (2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:

 ,

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом.

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1. .

2. .

Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x)=xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем: . В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x–1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I=ex(x–1)=1.

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле:

 .

Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j(a)=a;j(b)=b, а функции f, j, j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример:.

Сделаем замену: lnx=t или x=et, тогда если x=1, то t=0, а если x=e, то t=1. В результате получим:

src="ris

 .

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.


Математика примеры решения задач