Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3)замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

Если матрица A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрица A переводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы (4) – треугольная матрица.

Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна.

Рассмотрим другой пример:

 . (5)

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы:

1) первую строку оставим без изменения;

2)вместо второй строки запишем разность между второй строкой и удвоенной первой;

3)вместо третьей строки запишем разность между третьей строкой и утроенной первой;

4) четвертую строку заменим разностью между четвертой и первой;

5) пятую строку заменим разностью пятой строки и удвоенной первой.

В результате преобразований получим матрицу

 .

Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, приведем ее элементарными преобразованиями к следующему виду:

 .

Если теперь, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки привести к нулю коэффициенты при x3 в четвертой и пятой строках, то после деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получим матрицу

.

Каждая из двух последних строк этой матрицы соответствует уравнению 0x1+0x2+0x3+0x4+0x5 = 0. Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел x1,x2,¼,x5, и его следует удалить из системы. Таким образом, система с только что полученной расширенной матрицей эквивалентна системе с расширенной матрицей вида

  . (6)

Последняя строка этой матрицы соответствует уравнению
x3–2x4+3x5=–4. Если неизвестным x4 и x5 придать произвольные значения: x4=r; x5=s, то из последнего уравнения системы, соответствующей матрице (6), получим x3=–4+2r–3s. Подставив выражения x3, x4, и x5 во второе уравнение той же системы, получим x2=–3+2r–2s. Теперь из первого уравнения можно получить x1=4–r+s. Окончательно решение системы представляется в виде

 .

Рассмотрим прямоугольную матрицу A, у которой число столбцов m больше, чем число строк n. Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m и стоящую справа прямоугольную матрицу, то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной. Очевидно, что матрица (6) — трапециевидная матрица.

Если при применении эквивалентных преобразований к системе уравнений хотя бы одно уравнение приводится к виду

 0x1+0x2+¼0xn=bj (bj¹0),

то система несовместна или противоречива, так как ни один набор чисел x1,x2,¼,xn не удовлетворяет этому уравнению.

Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений.
Математика примеры решения задач