Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Формула интегрирования по частям

Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда

 (uv)¢=u¢v+v¢u

Отсюда следует

 ò(uv)¢dx=ò(u¢v+v¢u)dx=òu¢v dx+òv¢u dx

или

 ò uv¢dx = uv–ò u¢v dx .

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:

 òu(x)dv(x) = u(x) v(x)–òv(x)du(x)

Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры. 1. I = òx cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:

 I=xsinx–òsinxdx=xsinx+cosx+C.

2. I=ò(x2–3x+2)e5xdx. Пусть x2–3x+2=u; e5xdx=dv. Тогда
du=(2x–3)dx; .

 .

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x-3=u; e5xdx=dv. Отсюда следует: du=2dx; , и окончательно получаем:

 

 .

3. ;

;

 

 

 .

В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

.

Представим дробь  в виде суммы двух дробей:  и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства  получим систему уравнений

 

с решением . Отсюда следует:

.

Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.


Математика примеры решения задач