Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x)=f(x).

Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x)=f(x)dx, то F(x) ¾ первообразная для f(x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

src="ris

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x)+C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).

Доказательство.

  (F+C)¢=F¢+C¢=f+0= f

По определению F + C ¾ первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g¢(x)=0.

Доказательство.

Так как g(x)=C, справедливы равенства: g¢(x)=C¢=0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g¢(x)=0 при всех xÎ(a;b), то g(x)=C на (a;b).

Доказательство.

Пусть g¢(x)=0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1Î(a;b). Тогда для любой точки xÎ(a;b) по формуле Лагранжа имеем

 g(x)–g(x1)=g¢(x)(x–x1)

Так как xÎ(x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g¢(x)=0, откуда следует, что g(x)–g(x1)=0, то есть g(x)=g(x1)=const.

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G=F+C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G–F: (G–F)¢=G¢–F¢=
=f–f=0. Отсюда следует: G–F=C, где C ¾ число, то есть G=F+C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx=F(x)+C, где C – произвольное число.


Математика примеры решения задач