Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Выпуклость и вогнутость функции

Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").

 

Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.

 

Будем называть функцию возрастающей в точке x0, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.

Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.

Если f¢¢(x)>0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f¢¢(x)<0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.

Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5,–признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.

Если x0 – точка перегиба функции f(x), то f¢¢(x0)=0.

Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.

Если в точке x0 выполняются условия:

1) f¢(x0)=0; f¢¢(x0)<0, тогда x0 – точка максимума;

2) f¢(x0)=0; f¢¢(x0)>0, тогда x0 – точка минимума;

3) f¢(x0)=0; f¢¢(x0)=0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x0=0 у функции y=x4, но может его не быть, например в точке x0=0 у функции y=x5. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.


Математика примеры решения задач