Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Дифференциал функции

Величины r1 и r2 в формулах (2) при уменьшении Dx в k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 3 и 4, и говорят, что r1 и r2 стремятся к нулю быстрее, чем Dx.

Назовем функцию b(z) бесконечно малой в точке z=z0, если .

Пусть функции b(z) и g(z) являются бесконечно малыми в точке z=z0.. Функция b(z) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция g(z), если .

Величины r1 и r2 в формулах (2) являются функциями аргумента Dx, бесконечно малыми в точке Dx=0. Можно показать, что. Это означает, что функции r1(Dx) и r2(Dx) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx=0.

Таким образом приращение функции y=f(x) в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде

 Dy=f¢(x)Dx+b(Dx),

где b(Dx) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx=0.

Главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции y=f(x), равная f¢(x)Dx, называется дифференциалом и обозначается dy:

 dy=f¢(x)Dx. (3)

Если сюда подставить функцию f(x)=x, то, так как x¢=1, формула (3) примет вид: dx=Dx. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y=x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y=x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (3) можно переписать так

 dy=f¢(x)dx.

Отсюда следует, что

 ,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC=0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x))=Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x), d(f(x)g(x))=g(x)df(x)+f(x)dg(x). Если при этом g(x)¹0, то  

Пусть y=f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy=df(x)=f¢(x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y=F(t)=f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy=F¢(t)dt=f¢(x)x¢(t)dt. Однако по определению дифференциала x¢(t)dt=dx и последняя формула преобразуется к виду: dy=f¢(x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Dx=dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.


Математика примеры решения задач