Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0<x–a<d будет следовать êB–f(x)ê<e.

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция  в точке x=0 не имеет.

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0<b–x<d будет следовать êC–f(x)ê<e.

Очевидно, что функция  (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x=0:

.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

  ().

Функция   непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a,b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на полубесконечном промежутке (х0;¥). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

  ,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

 ½f(x) – A½<e.

Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке
(–¥; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

  ,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, меньших, чем –М, выполняется условие:

 ½f(x) – A½<e.


купить бланки свидетельств
Математика примеры решения задач