Производные гиперболических функций Производная степенной функции Натуральный логарифм Найдём предел Найдём вторую производную функции

Начала линейной алгебры

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся кx0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y=A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию

0<êx–x0ê<d,

выполняется условие

êy–Aê<e.

Тот факт, что A есть предел функции y=f(x) в точке x=x0, записывается формулой

.

Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x=x0, не требуется, чтобы она была определена в этой точке.

Рассмотрим функцию . Очевидно, что если x>0, то y=2x; если x<0, то y=–2x; при x=0 функция не определена.

График функции изображен на рисунке3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x=0 предела не имеет.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: .

Функция y=x2 непрерывна в точке x=2, как и во всех точках числовой оси. Функция  не является непрерывной в точке x=2. Функция   не является непрерывной в точке x=0.

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке


Математика примеры решения задач